A labdarúgással az angyalföldi grundokon, gyermekként ismerkedett meg. Jóllehet 12 éves korától igazolt játékos volt alsóbb osztályokban, hamar belátta, hogy nem olyan tehetséges, mint az akkor világhírű magyar focisták. Úgy érezte, a pálya széléről többet tud nyújtani a sportnak. Ez utóbbit szó szerint kell érteni, mert 1945-ben rádiós lett, és az oldalvonal mellett állva közvetítette a meccseket.
Ezek közül alighanem a leghíresebb az 1953-as londoni 6-3, az évszázad mérkőzése, amelyet milliók hallgattak idehaza, Szepesire pedig ráragadt az elismerő minősítés: ő az Aranycsapat 12. játékosa.
Szervezője volt a Körkapcsolás című műsornak a Magyar Rádióban, amely rövid idő alatt hatalmas népszerűségre tett szert, és 1963-tól 2009-ig hallgatók millióihoz juttatta el a magyar stadionok hangulatát. Ő honosította meg azt a sportközvetítési stílust, amelyben a riporter lelkesen, magas hőfokon együtt él a játékkal, a csapattal, a versenyzővel, azonosul a történésekkel, együtt örül a sikernek, a győzelemnek, és kesereg balsiker, vereség esetén.
Olimpiáról először 1948-ban tudósított, és sorozatban 15 ötkarikás nyári játékról közvetített egyedi stílusban az éteren keresztül. Egy híján félszáz magyar olimpiai aranyérem megszületésénél lehetett ott, az 1964-ben Tokióban győztes magyar vízilabda-válogatott döntőjén például egy ország kiáltotta vele: „Lőj, Dömötör!”
Emellett 14 labdarúgó-világbajnokságnak is a kommentátora volt, és bekerült a Guinness Rekordok könyvébe. Ő ugyanis a világ leghosszabb időn át tevékenykedő sportriportere, a 2005-ös Magyarország–Argentína barátságos futballmérkőzésnek csaknem napra pontosan hatvan évvel azután lehetett a rádiós szakkommentátora, hogy az 1945-ös magyar–osztrákon bemutatkozott sportriporterként.
A sport mellett a politikai újságírásba is beletanult: 1975 és 1978 között az MTI bonni tudósítója volt, 1981-től 1992-es nyugdíjba vonulásáig a Magyar Rádió Szórakoztató és Sportfőosztályának vezetőjeként dolgozott. Társadalmi megbízatásokat is vállalt szeretett sportágában: 1979 és 1986 között volt a Magyar Labdarúgó Szövetség elnöke, elnöksége idején szerepelt utoljára a magyar válogatott világbajnokságon, a balsikerű 1986-os mexikói tornán. 1982-ben beválasztották a FIFA végrehajtó bizottságába, s tagja volt a Magyar Olimpiai Bizottságnak is.
Szepesi György munkásságát számos elismerés övezi: első magyar sportújságíróként kapta meg a Gerevich-díjat, birtokosa az Orth György-díjnak, az Aranytollnak, 2007 januárjában Kodály Zoltán közművelődési díjat vehetett át a Pro Renovanda Cultura Hungariae Alapítvány kuratóriumától, amely 1993 óta az oktatás, a kultúra és a tudomány területén kiemelkedő teljesítményt nyújtó személyiségeket tünteti ki.
2004-ben lett a Prima Primissima-díj kitüntetettje, és ugyanebben az évben a Magyar Sportújságírók Szövetsége Életműdíjjal jutalmazta. Birtokosa a NOB Olimpiai Érdemrend Ezüst Fokozatának, valamint a Magyar Köztársasági Érdemrend Középkeresztjének is. 1995-ben szűkebb pátriája, Budapest XIII. kerülete, majd 2005-ben a főváros is díszpolgárává avatta. 2012-ben az újonnan alapított Magyar Sportsajtó Halhatatlanja díjat és a Magyar Olimpiai Bizottság sajtóbizottságának Média különdíját vehette át. 2016-ban Magyar Labdarúgó Szövetség életműdíját kapta meg.
A róla elnevezett Szepesi-díjat, amellyel a hazai újságírás és sportújságírás egyik meghatározó alakját díjazzák, először 2015-ben adták át.
