Welsh már az utánpótláskorszakban is a Celtic játékosa volt, a felnőtt csapatban 2019-ben mutatkozott be, eddig négy skót bajnoki aranyat, két Skót Kupát és három skót Ligakupát nyert.
A 2022-es nyári átigazolási időszakban a francia Toulouse szerette volna leigazolni, de a klub nem akarta eladni, mivel Ange Postecoglou számolt vele a felnőtt csapatban. 2023 nyarán új, négyéves szerződést írt alá, de kevés lehetőséget kapott, így a tavaly a belga Mechelen is ajánlatot tett érte, de csak a januári, másdik megkeresésre adta be a derekát a Celtic.
A Csakfoci azt írta, Welshnek a nemzetközi porondon is van már tapasztalata, hiszen a Bajnokok Ligája-, az Európa Liga-, és a Konferencia Liga-csoportkörben is pályára lépett már.