Kozlov 1993. március 19-én született Moszkvában, és a helyi Szpartakban kezdett el futballozni. Hihetetlenül tehetséges csatárnak tartották, alacsony, de nagyon gyors játékos volt, aki rengeteg gólt szerzett. A korosztályos válogatottakban a korábbi Zenit- és Arsenal-csatárhoz, a 75-szörös válogatott Andrej Arsavinhoz hasonlították.
15 évesen aláírta első profi szerződését a Szpartakkal, 16 évesen már a nagycsapattal edzett, 17 évesen debütált tétmérkőzésen is. 2010 őszén már a Bajnokok Ligájában is játszott, a Stamford Bridge-en a Chelsea elleni meccsen mutatkozott be.
A Szpartak vezetőedzője, Valerij Karpin azt mondta róla, a rátermettsége alapján 17-18 évesen betörhet végleg a csapatba, és kivételes tehetségét Diego Maradonáéhoz és Lionel Messiéhez hasonlította.
2011 őszén törés keletkezett a játékában, állítólag ügynökei megzavarták a fejét, rá akarták beszélni, hogy szerződjön a városi rivális CSZKA-hoz. A 2013-14-es szezon elején aztán a törökországi edzőtáborban súlyos térdsérülést szenvedett, minden szalagja és a meniszkusza is sérült, és két évig nem térhetett vissza.
Miután 2016-ban távozott a Szpartaktól, több kisebb orosz csapat után kipróbálta magát a kazah Okzsetpesz és az örmény Ararat Jerevan csapataiban is.
A szezont a Zorkij Krasznogorszkban szerette volna megkezdeni, pénteken ott is volt a csapatnál, és bár edzésen nem volt, egy masszázst kért. Akkor lett rosszul, és ugyan úgy tűnt, az újraélesztés sikerrel jár, a 29 éves csatár a kórházban meghalt.
A Szport-Ekszpressz úgy tudja, egy vérrög okozott nála tüdőembóliát.
Умер экс-нападающий «Спартака» Александр Козлов. Ему было 29 лет
К сезону Александр готовился с «Зорким». Футболист пошел на массаж, и там ему вдруг стало плохо, сообщает корреспондент Матч ТВ
Козлов провел 22 матча за основу «Спартака» и выступал за молодежную сборную России pic.twitter.com/ZBadi4zVaM
— Матч ТВ (@MatchTV) July 15, 2022
